Scratch Scratch3.0编程与数学:求最大公因数(4更相减损术)

发布时间:2021-05-03 22:32:24 浏览 1
我们今天来研究用“更相减损术”求两个数的最大公因数。   “更相减损术”又称为“辗转相减法”。最早出现在我国的《九章算术》中。《九章算术》是中国古代的数学专著。是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部,成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订,而逐渐成为现今定本的,西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理,其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期,现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(263年),刘徽为《九章》所作的注本。

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张苍(公元前256年~公元前152年),河南郡阳武县(今河南省原阳县富宁集乡张大夫寨村)人。西汉初期丞相、历算学家。

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耿寿昌,生卒年不详。西汉时期天文学家、理财家。精通数学,修订《九章算术》,又用铜铸造浑天仪观天象,著有《月行帛图》等。

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原文是:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。 解释:如果要对一个分数进行约分,首先判断可以折半的话,就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话,那么就比较分母和分子的大小,用大数减去小数,互相减来减去,一直到减数与差相等为止,然后用这个相等的数字来约分。 “更相减损术”原意是用于对一个分数进行约分的,也适用于求两个整数的最大公因数。 第1步:任意的两个正整数。首先判断它们是否都是偶数(也就是能否被2整除)。若是偶数,则用2约分;再继续判断两个数被2整除后的数,是否还是偶数,若是继续执行第1步,直至两个数不能同时被2整除;若不是偶数则执行第二步。 第2步:比较两个数的大小,以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并继续以大数减小数。重复执行这个操作,直到所得的减数和差相等为止。 第3步:最后最大公因数就是,第1步中约掉的若干个2的积与第2步中相等数的乘积,也就是所求的两个整数的最大公因数。 例:用更相减损术求180和120的最大公因数。 第1步:判断是否是偶数。180和120均为偶数,用2进行约分。 180÷2=90,120÷2=60; 90和60还是均为偶数,继续用2进行约分。 90÷2=45,60÷2=30; 此时45是奇数而30是偶数,不能再用2进行约分。 第2步:把45和30进行辗转相减。 45-30=15; 30-15=15; 此时减数和差相等,都是15。 第3步:180与120的最大公因数等于15乘以第一步中约掉的两个2,即15*2*2=60,所以180和120的最大公因数就是60。  

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